Npdpk.ru

Стройжурнал НПДПК
1 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Площадь трапеции через откос

Все варианты того, как найти площадь трапеции

Многоликая трапеция. Она может быть произвольной, равнобедренной или прямоугольной. И в каждом случае нужно знать, как найти площадь трапеции. Конечно, проще всего запомнить основные формулы. Но иногда проще воспользоваться той, которая выведена с учетом всех особенностей конкретной геометрической фигуры.

Несколько слов о трапеции и ее элементах

Любой четырехугольник, у которого две стороны параллельны, можно назвать трапецией. В общем случае они не равны и называются основаниями. Большее из них — нижнее, а другое — верхнее.

Две другие стороны оказываются боковыми. У произвольной трапеции они имеют различную длину. Если же они равны, то фигура становится равнобедренной.

Если вдруг угол между любой боковой стороной и основанием окажется равным 90 градусам, то трапеция является прямоугольной.

Все эти особенности могут помочь в решении задачи о том, как найти площадь трапеции.

Среди элементов фигуры, которые могут оказаться незаменимыми в решении задач, можно выделить такие:

  • высота, то есть отрезок, перпендикулярный обоим основаниям;
  • средняя линия, которая имеет своими концами середины боковых сторон.

По какой формуле вычислить площадь, если известны основания и высота?

Это выражение дается основным, потому что чаще всего можно узнать эти величины, даже когда они не даны явно. Итак, чтобы понять, как найти площадь трапеции, потребуется сложить оба основания и разделить их на два. Получившееся значение потом еще умножить на значение высоты.

Если обозначить основания буквами а1 и а2, высоту — н, то формула для площади будет выглядеть так:

Формула, по которой вычисляется площадь, если даны ее высота и средняя линия

Если посмотреть внимательно на предыдущую формулу, то легко заметить, что в ней явно присутствует значение средней линии. А именно, сумма оснований, деленная на два. Пусть средняя линия будет обозначена буквой l, тогда формула для площади станет такой:

Возможность найти площадь по диагоналям

Этот способ поможет, если известен угол, образованный ими. Предположим, что диагонали обозначены буквами д1 и д2, а углы между ними — &alpha- и &beta-. Тогда формула того, как найти площадь трапеции, будет записана следующим образом:

В этом выражении можно легко заменить &alpha- на &beta-. Результат не изменится.

Как узнать площадь, если известны все стороны фигуры?

Бывают и такие ситуации, когда в этой фигуре известны именно стороны. Эта формула получается громоздкой и ее сложно запомнить. Но возможно. Пусть боковые стороны имеют обозначение: в1 и в2, основание а1 больше, чем а2. Тогда формула площади примет такой вид:

Способы вычисления площади равнобедренной трапеции

Первый связан с тем, что в нее можно вписать окружность. И, зная ее радиус (он обозначается буквой r), а также угол при основании — &gamma-, можно воспользоваться такой формулой:

S = (4 * r 2 ) / sin &gamma-.

Последняя общая формула, которая основана на знании всех сторон фигуры, существенно упростится за счет того, что боковые стороны имеют одинаковое значение:

Методы вычисления площади прямоугольной трапеции

Понятно, что подойдет любой из перечисленных для произвольной фигуры. Но иногда полезно знать об одной особенности такой трапеции. Она заключается в том, что разность квадратов длин диагоналей равна разности, составленной из квадратов оснований.

Часто формулы для трапеции забываются, в то время как выражения для площадей прямоугольника и треугольника помнятся. Тогда можно применить простой способ. Разделить трапецию на две фигуры, если она прямоугольная, или три. Одна точно будет прямоугольником, а вторая, или две оставшиеся, треугольниками. После вычисления площадей этих фигур останется их только сложить.

Это достаточно простой способ того, как найти площадь прямоугольной трапеции.

Как быть, если известны координаты вершин трапеции?

В этом случае потребуется воспользоваться выражением, которое позволяет определить расстояние между точками. Его можно применить три раза: для того, чтобы узнать оба основания и одну высоту. А потом просто применить первую формулу, которая описана немного выше.

Читать еще:  Как выбрать герметик для откосов

Для иллюстрации такого метода можно привести такой пример. Даны вершины с координатами А(5- 7), В(8- 7), С(10- 1), Д(1- 1). Нужно узнать площадь фигуры.

До того как найти площадь трапеции, по координатам нужно вычислить длины оснований. Потребуется такая формула:

Верхнее основание обозначено АВ, значит, его длина будет равна &radic- <(8-5) 2 + (7-7) 2 >= &radic-9 = 3. Нижнее — СД = &radic- <(10-1) 2 + (1-1) 2 >= &radic-81 = 9.

Теперь нужно провести высоту из вершины на основание. Пусть ее начало будет в точке А. Конец отрезка окажется на нижнем основании в точке с координатами (5- 1), пусть это будет точка Н. Длина отрезка АН получится равной &radic- <(5-5) 2 + (7-1) 2 >= &radic-36 = 6.

Осталось только подставить получавшиеся значения в формулу площади трапеции:

S = ((3 + 9) / 2) * 6 = 36.

Задача решена без единиц измерения, потому что не указан масштаб координатной сетки. Он может быть как миллиметр, так и метр.

Примеры задач

№ 1. Условие. Известен угол между диагоналями произвольной трапеции, он равен 30 градусам. Меньшая диагональ имеет значение 3 дм, а вторая больше ее в 2 раза. Необходимо посчитать площадь трапеции.

Решение. Для начала нужно узнать длину второй диагонали, потому что без этого не удастся сосчитать ответ. Вычислить ее несложно, 3 * 2 = 6 (дм).

Теперь нужно воспользоваться подходящей формулой для площади:

S = ((3 * 6) / 2) * sin 30&ordm- = 18/2 * &frac12- = 4,5 (дм 2 ). Задача решена.

Ответ: площадь трапеции равна 4,5 дм 2 .

№ 2. Условие. В трапеции АВСД основаниями являются отрезки АД и ВС. Точка Е — середина стороны СД. Из нее проведен перпендикуляр к прямой АВ, конец этого отрезка обозначен буквой Н. Известно, что длины АВ и ЕН равны соответственно 5 и 4 см. Нужно вычислить площадь трапеции.

Решение. Для начала нужно сделать чертеж. Поскольку значение перпендикуляра меньше стороны, к которой он проведен, то трапеция будет немного вытянутой вверх. Так ЕН окажется внутри фигуры.

Чтобы отчетливо увидеть ход решения задачи, потребуется выполнить дополнительное построение. А именно, провести прямую, которая будет параллельна стороне АВ. Точки пересечения этой прямой с АД — Р, а с продолжением ВС — Х. Получившаяся фигура ВХРА — параллелограмм. Причем его площадь равна искомой. Это связано с тем, что треугольники, которые получились при дополнительном построении, равны. Это следует из равенства стороны и двух прилежащих к ней углов, один — вертикальный, другой — накрест лежащий.

Найти площадь параллелограмма можно по формуле, которая содержит произведение стороны и высоты, опущенной на нее.

Таким образом, площадь трапеции равна 5 * 4 = 20 см 2 .

Ответ: S = 20 см 2 .

№ 3. Условие. Элементы равнобедренной трапеции имеют такие значения: нижнее основание — 14 см, верхнее — 4 см, острый угол — 45&ordm-. Нужно вычислить ее площадь.

Решение. Пусть меньшее основание имеет обозначение ВС. Высота, проведенная из точки В, будет называться ВН. Поскольку угол 45&ordm-, то треугольник АВН получится прямоугольный и равнобедренный. Значит, АН=ВН. Причем АН очень легко найти. Она равна половине разности оснований. То есть (14 — 4) / 2 = 10 / 2 = 5 (см).

Основания известны, высота сосчитана. Можно пользоваться первой формулой, которая здесь была рассмотрена для произвольной трапеции.

S = ((14 + 4) / 2) * 5 = 18/2 * 5 = 9 * 5 = 45 (см 2 ).

Ответ: Искомая площадь равна 45 см 2 .

№ 4. Условие. Имеется произвольная трапеция АВСД. На ее боковых сторонах взяты точки О и Е, так что ОЕ параллельна основанию АД. Площадь трапеции АОЕД в пять раз больше, чем у ОВСЕ. Вычислить значение ОЕ, если известны длины оснований.

Решение. Потребуется провести две параллельные АВ прямые: первую через точку С, ее пересечение с ОЕ — точка Т- вторую через Е и точкой пересечения с АД будет М.

Читать еще:  Миллион за откос армии

Пусть неизвестная ОЕ=х. Высота меньшей трапеции ОВСЕ — н1, большей АОЕД — н2.

Поскольку площади этих двух трапеций соотносятся как 1 к 5, то можно записать такое равенство:

Высоты и стороны треугольников пропорциональны по построению. Поэтому можно записать еще одно равенство:

В двух последних записях в левой части стоят равные величины, значит, можно написать, что (х + а1) / (5(х + а2)) равно (х — а2) / (а1 — х).

Здесь требуется провести ряд преобразований. Сначала перемножить крест накрест. Появятся скобки, которые укажут на разность квадратов, после применения этой формулы получится короткое уравнение.

В нем нужно раскрыть скобки и перенести все слагаемые с неизвестной «х» в левую сторону, а потом извлечь квадратный корень.

Как вычислить площадь трапеции?

В предыдущих статьях вы уже познакомились с материалами Как найти площадь треугольника и Как найти площадь прямоугольника. Тeпeрь мoжнo приступить к рaссмoтрeнию вoпрoсa Кaк нaйти плoщaдь трaпeции. Дaннaя зaдaчa вoзникaeт oчeнь рeдкo, нo инoгдa oкaзывaeтся необходимой, к примеру, для того чтобы найти площадь комнаты в форме трапеции, которые все чаще применяют при строительстве современных квартир, или в дизайн-проектах по ремонту.

Трапеция — это геометрическая фигура, образованная четырьмя пересекающимися отрезками, две из которых параллельны между собой и называются основаниями трапеции. Два других отрезка называются сторонами трапеции. Кроме того, в дальнейшем нам пригодится ещё одно определение. Это средняя линия трапеции, которая представляет собой отрезок, соединяющий середины боковых сторон и высота трапеции, которая равна расстоянию между основаниями.

Как и у треугольников, у трапеций имеются частные виды в виде равнобедренной трапеции, у которой длина боковых сторон одинакова и прямоугольной трапеции, у которой одна из сторон образует с основаниями прямой угол.

Трапеции обладают некоторыми интересными свойствами:

— У равнобедренных трапеций боковые стороны и углы, которые они образуют с основаниями, равны.

— Средняя линия трапеции равна полусумме оснований и параллельна им.

— Если сумма боковых сторон трапеции равна сумме оснований, в нее можно вписать круг

— Середины диагоналей трапеции и пересечения ее диагоналей находятся на одной прямой.

— Равнобедренную трапецию можно описать окружностью. И наоборот. Если в трапеция вписывается в окружность, значит она равнобедренная.

— Если сумма углов, образованных сторонами трапеции у любого ее основания равна 90, то длина отрезка, соединяющего середины оснований, равна их полуразности.

— Отрезок, проходящий через середины оснований равнобедренной трапеции будет перпендикулярен ее основаниям и представляет собой ось симетрии.

Как найти площадь трапеции.

Площадь трапеции будет равна полусумме ее оснований, умноженной на высоту. В виде формулы это записывается в виде выражения: S = ((a+b)*h)/2 где S-площадь, a,b-основания, c,d-боковые стороны трапеци, h-высота трапеции.

Понять и запомнить эту формулу можно следующим образом. С использованием средней линии можно преобразовать в прямоугольник, длина которого и будет равна полусумме оснований.

Как найти площадь трапеции?

Можно также любую трапецию разложить на более простые фигуры: прямоугольник и один, или два треугольника и если вам так проще, то найти площадь трапеции, как сумму площадей составляющих ее фигур.

Есть еще одна простая формула для подсчета ее площади. Согласно ней площадь трапеции равна произведению ее средней линии на высоту трапеции и записывается в виде: S = m*h, где S-площадь, m-длина средней линии, h-высота трапеции. Данная формула больше подходит для задач по математике, чем для бытовых задач, так как в реальных условиях вам не будет известна длина средней линии без предварительных расчетов. А известны вам будут только длины оснований и боковых сторон.

В этом случае площадь трапеции может быть найдена по формуле:

Читать еще:  Уклон откоса для песка

S = ((a+b)/2)*√c2-((b-a)2+c2-d2/2(b-a))2

где S-площадь, a,b-основания, c,d-боковые стороны трапеции.

Существуют еще несколько способов того, как найти площади трапеции. Но, они также неудобны как и последняя формула, а значит не имеет смысла на них останавливаться. Поэтому, рекомендуем вам пользоваться первой формулой из этой статьи и желаем всегда получать точные результаты.

Площадь трапеции через откос

Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 16 и 12, а средняя линия равна 10.

Пусть — длина средней линии. Проведём высоту CH и проведём прямую CE, параллельную BD. Рассмотрим четырёхугольник следовательно, BCED — параллелограмм, откуда Рассмотрим треугольник ACE, Пусть p — полупериметр треугольника ACE. Найдём площадь треугольника ACE по формуле Герона:

Выразим площадь треугольника ACE как произведение основания AE на высоту CH, откуда найдём

Площадь трапеции равна произведению высоты на полусумму оснований:

Решение можно сократить, заметив, что треугольник ACE является прямоугольным, и его площадь равна площади трапеции ABCD. Действительно, в силу равенства

по теореме, обратной теореме Пифагора, заключаем, что треугольник ACE прямоугольный. Тогда площадь треугольника находится как полупроизведение катетов:

Далее, треугольник ACE имеет общую высоту с трапецией, а его основание AE есть сумма оснований трапеции. Таким образом, найденная площадь данного треугольника равна искомой площади трапеции.

Площадь трапеции

Параллельные стороны трапеции называются основами (стороны AB и CD на рисунке). Остальные стороны имеют названия боковых сторон (стороны AD и BC ). Выделяют три

специальные трапеции: равносторонняя трапеция, у которой все боковые стороны равные. Прямоугольная трапеция, у которой все углы прямые и разносторонняя, у которой все стороны разные.

Существует также несколько способов для вычисления площади трапеции. Представим некоторые из них:

  1. Sтр= 2(ВС+АD)/BH, где АD и ВС выступают в роли оснований, а BH – в роли высоты трапеции. Для доказательства представленной выше формулы мы проведем в трапеции диагональ BD, затем выразим площади треугольников CDB и ABD посредством полупроизведений оснований на высоту: SABD=1/2хАDхBH и SCDB = 1/2хBCхDP,гдеDP – внешняя высота в треугольнике CDB, не забывая о том, что высоты BH и DP равные поочередно сложим эти равенства. В итоге мы получим:

Sтр = SABD + SCDB = 1/2(BH х АD) + 1/2х ВС х BH. Вынесем за скобку 1/2 х BH; Sтр = 1/2 х BH (АD + ВС) = ((АD+ВС)/2) х BH.

  1. Вычисление с применением общей формулы площади четырехугольника: по определению площадь четырехугольника равняется половине произведения диагоналей, которое умноженное на синус угла, который находится между ними: S=1/2 АСхВDхsin О. Для того чтобы доказать, просто необходимо разделить трапецию на 4 треугольника, затем выразить площади каждого из треугольников через «половину произведения диагоналей на синус угла между ними». В этом случае в роли угла выступает угол О, после сложить те выражения, которые образовались, вынести ½ sin О за скобки, разложить эти скобки на множители, используя метод группировки. Получается такое равенство (АО + СО)х(ВО + DО). Следовательно, получается уравнение определения площади трапеции: Sтр = 1/2х(АО + СО)х(ВО + DО)хsin О= 1/2хАСхВD sin О.
  2. Вычисление площади можно осуществить при помощи формулы Герона для трапеции:

4. Формула, которую наиболее часто используют для определения площади трапеции, при известной высоте и длин сторон:

где S – значение площади трапеции, a, b — значение длин основ трапеции; c, d – значение длин боковых сторон трапеции, l – средняя линия (согласно основным свойствам трапеции средняя линия ее параллельна основаниям и равняется половине их сумм.)

голоса
Рейтинг статьи
Ссылка на основную публикацию
ВсеИнструменты
Adblock
detector